Sffêr – haen uwch yn unig
Mae sffêr yn ffigwr solet perffaith grwn. Mae pob pwynt ar arwyneb y siâp yr un pellter i ffwrdd o’r canol – rydyn ni’n galw’r pellter hwn yn radiws.
Byddi’n cael y fformiwla ar gyfer cyfaint ac arwynebedd arwyneb sffêr yn yr arholiad, felly ni fydd angen i ti gofio’r rhain.
(ٱٵڲԳٴʲڴê=ʰڰ43پ辱پٱٵ3)
\(\text{Arwynebedd~arwyneb~sffêr}~=~\text{4}\times\pi\times \text{r}^{2}\)
Y diamedr yw’r pellter o un pwynt ar yr arwyneb at un arall, drwy’r canol. Os wyt ti'n gwybod beth yw'r diamedr, rhaid i ti rannu â 2 i ganfod y radiws cyn y gelli di gyfrifo’r cyfaint neu’r arwynebedd arwyneb.
Enghraifft
Mae tanc pysgod sfferig sydd â diamedr o 40 cm yn hanner llawn o ddŵr.
1. Cyfrifa gyfaint y dŵr.
2. Mae’r dŵr yn cael ei symud i danc sfferig newydd fel bod y dŵr yn llenwi’r tanc yn gyfan gwbl. Cyfrifa arwynebedd arwyneb y tanc newydd.
Ateb
1. Cyfrifa gyfaint y tanc:
Diamedr = 40 cm felly mae’r radiws yn 40 ÷ 2 = 20 cm
Dylet amnewid hwn yn y fformiwla ar gyfer cyfaint sffêr:
Cyfaint = \(\frac{4}{3}\times\pi\times\text{r}^{3}\) = \(\frac{4}{3}\times\pi\times~\) 203 = 33,510.32164 cm3
Mae’r tanc yn hanner llawn felly mae rhannu â 2 yn cyfrifo cyfaint y dŵr:
33,510.32164 ÷ 2 = 16,755.16082 cm3
2. Cyfrifa radiws y tanc newydd, ac yna canfydda’r arwynebedd arwyneb:
Cyfaint = \(\frac{4}{3}\times\pi\times\text{r}^{3}\) = 16,755.16082
I ganfod \(\text{r}\) rhaid i ni ad-drefnu’r fformiwla:
Rhanna’r ddwy ochr â \(\frac{4}{3}~\pi\):
\({16,755.16082}\div\frac{4}{3}~\pi~=~\text{r}^{3}\)
4,000 = \(\text{r}^{3}\)
Yna cymera drydydd isradd y ddwy ochr:
\(\sqrt[3]{4,000}~=~\text{r}\)
\(\text{r} ~\) = 15.87401052 cm
Gallwn nawr gyfrifo’r arwynebedd arwyneb
\(\text{4} ~ \pi ~ \text{r}^{2} = {4} \times \pi \times {15.87401052^2}~\) = 3166.526972 cm2
Arwynebedd arwyneb = 3,166.53 cm2 (i ddau le degol)
Question
Mae radiws pêl bandiau rwber yn 6 cm.
Dw i’n ychwanegu mwy o fandiau rwber ac mae’r cyfaint yn cynyddu 100 cm3. Faint yn fwy yw’r radiws nawr?
Rho dy ateb i ddau le degol.
Hen gyfaint = \(\frac{4}{3}~{π}~{r^3}~=~\frac{4}{3} \times 6^3 = 904.7786842 cm^3\)
Cyfaint newydd = 904.7786842 + 100 = 1,004.7786842 cm3
1,004.7786842 = \(\frac{4}{3}~{π}~{r^3}\)
1,004.7786842 \(\div~\frac{4}{3}~{π}~=~{r^3}\)
\(\sqrt[3]{239.8732415}~=~{r}\)
\({r}\) = 6.213370741 cm = 6.21 cm (i 2 le degol)
Mae’r radiws wedi cynyddu 0.21 cm.
Question
Mae diamedr peth dal minlliw yn 12 mm a’i uchder yn 52 mm. Mae’n cynnwys hemisffer ar dop tiwb silindrog. Cyfrifa arwynebedd arwyneb y peth dal minlliw.
Silindr:
Radiws = 12 ÷ 2 = 6 mm
\(\text{Arwynebedd y gwaelod} = π \times r^2\)
Arwynebedd y gwaelod = \({π}\) x 62 = 113.0973355 mm2
\(\text{Arwynebedd~yr~arwyneb~crwm}~=~\text{cylchedd}\times \text{uchder}\)
(ٱٵ尨=2πʰ)
Cylchedd = 2 x \(π\) x 6 = 37.69911184 mm2
Uchder = 52 – 6 = 46 mm
Arwynebedd yr arwyneb crwm = 37.69911184 x 46 = 1734.159145 mm2
Hemisffer:
\(\text{Arwynebedd arwyneb sffêr} = 4 \times π \times r^2\)
Arwynebedd arwyneb sffêr = 4 x \(π\) x 62 = 452.3893421 mm2
Arwynebedd arwyneb hemisffer = 452.389 ÷ 2 = 226.1946711 mm2
Cyfanswm yr arwynebedd arwyneb = gwaelod + arwyneb crwm + hemisffer = 113.0973355 + 1734.159145 + 226.1946711 = 2073.4511516 mm2
Cyfanswm yr arwynebedd arwyneb = 2,073 mm2 (mm2 agosaf)
Hemisffer
Mae hemisffer union cymaint â hanner sffêr. Wrth gyfrifo’r cyfaint, byddai’n rhaid i ti haneru cyfaint sffêr.
Wrth ganfod yr arwynebedd arwyneb, yn ogystal â haneru arwynebedd arwyneb sffêr, bydd yn rhaid i ti hefyd gyfrifo arwynebedd y cylch ar y gwaelod.
Question
Cyfrifa arwynebedd arwyneb hemisffer sydd â diamedr o 8 m.
Radiws = 4 m
Arwynebedd arwyneb y gromen = \(\frac{1}{2}\times{4}\times{π} \times{4^2}~=~{100.5309649}~m^2\)
Arwynebedd y gwaelod crwn = \({π}\times{r^2}~=~{π}\times {4^2}~=~{50.26548246}~m^2\)
Cyfanswm yr arwynebedd arwyneb = 100.5309649 + 50.26548246 = 150.7964474 m2
Cyfanswm yr arwynebedd arwyneb = 150.8 m2 (i un lle degol)